Enjoy With Matematic

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :

1. + bx + c > 0
2. + bx + c= 0
3. + bx + c < 0
4. + bx + c= 0

dengan a, b, c dan x elemen R, dan
Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan kua- drat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau interval dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
1. Pengertian selang atau interval.
Selang atau interval adalah himpunan bagian bilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan pada
garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yang
bersesuaian.
2. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, ce R dan
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah :

• Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah.

• Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c

• Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai

Diskriminan (D =  – 4.a.c).
a. Jika D > 0 parabola memotong sumbu X di dua titik
b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X.
c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu X.
Macam-macam grafik fungsi kuadrat (parabola) dapat dilihat dibawah ini :
a >0,fungsi definit positif
D<0,fungsi definit positif
a <0,fungsi definit negatif
D <0,fungsi definit negatif
Contoh :
Diketahui persamaan parabola y =  – 7x + 10.
Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas !
Jawab :
Pada persamaan parabola y =  – 7x + 10 nilai a = 1, b = -7, dan c = 10 .
Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas.
D =  – 4.a.c
= () – 4.1.10
= 49 – 40
= 9 .
Karena D = 9, (D > 0), maka parabola memotong sumbu X di dua titik.
Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka  – 7x + 10 = 0? (x – 2)(x – 5) = 0? x = 2 atau x = 5
Jadi parabola memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (5 , 0).
Parabola memotong sumbu Y, jika x = 0, maka :
Y =2 –(+1) =1
Gambar grafiknya buat sendiri dengan ketentuan y(0,10)
Kesimpulan :
Parabola y =  – 7x +10, terbuka ke atas, memotong sumbu X di (2,0) dan (5,0), serta memotong sumbu Y di (0,10).

• Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat.

Langkah-langkah :
Memilih bagian grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang akan diselesaikan.
1. Tentukan nilai a ( ke mana parabola terbuka).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu X.
3. Menggambar sketsa grafiknya.
Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  + bx + c >0 atau  + bx + c= 0.
Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  + bx + c < 0 atau  + bx + c= 0.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  – 3x – 10 > 0.
Jawab :
– 3x – 10 > 0 atau
y =  – 3x – 10
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi parabola memotong sumbu X
di (-2 , 0) dan (5 , 0)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik
pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:
x < -2
x > 5
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :
{ x / x < -2 atau x > 5 }
Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 3= 0.
Jawab :
– 2x – 3= 0 atau
y = – 2x – 3
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
Jadi parabola memotong sumbu x di (-1 , 0) dan (3 , 0)
X(-1,3)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada
bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 }
Daerah himpunan penyelesaian
HP = {x / -1= x= 3}

• Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan.

Langkah-langkah :
1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.
2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri.
3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.
4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai.
Contoh Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh Soal 3

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian Soal:
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3
Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}
Contoh Soal 4

(x – 3) (x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = – 2
Contoh Soal 5

9 – 2 = – 3x
Penyelesaian :
9 – 2 = – 3x
9 – 2 = – 3x
9 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3
Contoh Soal 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari + 2x – 8 ³ 0!
Jawab:
+ 2x – 8 ³ 0
(x + 4) (x – 2) ³ 0
x1 = -4            x2 = 2
Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x £ -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x – 8 ³ 0
Contoh Soal 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari – 2x – 24 < 0
Jawab:
– 2x – 24 < 0
(x -6)(x +4) < 0
x1 = 6   x2 = -4
Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 24 <0