BILANGAN REAL

Diposting oleh sastrawati On Minggu, 30 Januari 2011 0 komentar

BILANGAN REAL
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

SISTEM BILANGAN REAL

SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG :

  1. Hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx
  2. Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
  3. Hukum distributif : x(y + z) = xy + xz
  4. Unsur identitas : Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x
  5. Invers : Setiap bilangan x mempunyai invers penambahan (juga disebut negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. Setiap bilangan x, kecuali 0 juga mempunyai invers perkalian (disebut juga kebalikan), x-1 , yang memenuhi x . x-1 = 1
SIFAT-SIFAT URUTAN
  1. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x < y atau x = y atau x > y.
  2. Kentransitifan : x < y dan y < z → x < z
  3. Penambahan : x < y ↔ x + z < y + z
  4. Perkalian : Apabila z positif, x < y ↔ xz < yz. Apabila z negatif x < y ↔ xz > yz
Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) adalah sepupu pertama dari <. Relasi ini didefinisikan sebagai :
x ≤ y ↔ y – x positif atau nol
Sifat-sifat urutan 2, 3, dan 4 berlaku dengan lambang-lambang < dan > diganti oleh ≤ dan ≥.
TEOREMA
Jumlah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional
Bukti : Cara 1
Teorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut : “Jika  x = m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat, dan jika y adalah bilangan tak rasional, maka x + y adalah tak rasional”. Kita andaikan  x + y rasional, yakni kita andaikan bahwa x + y = p/q dengan p dan q adalah bilangan bulat, maka :
 
ini berarti y adalah bilangan rasional, bertentangan dengan pengandaian kita. Teorema terbukti.
Bukti : Cara 2
Bukti dengan kontradiksi yaitu :
Pada teorema diatas, andaikan R adalah pernyataan : Jumlah suatu bilangan rasional dan bilangan tak rasional adalah tak rasional. Pembuktian kita menunjukkan bahwa ~R tidak benar (mustahil). Kita simpulkan bahwa R harus benar.  Teorema terbukti.

Label:

0 komentar:

Posting Komentar