PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

  1. A. Sistem Persamaan linear Satu Peubah
Jumlah anak didik kelas III dengan anak didik kelas IV adalah sama atau jumlah anak didik kelas III sama dengan jumlah anak kelas IV.
Dalam kalimat di atas terdapat hubungan yang menyatakan ”sama” atau ”sama dengan” dan biasanya ditulis dengan lambang ”=” dan disebut ”persamaan”.
Contoh :
-          Tentukanlah himpunan penyelesaian dengan bilangan 7 peubah bilangan asli
a x 7 = 14
Timbul pertanyaan dengan bilangan berapakah yang jika dikalikan dengan 7 sehingga menghasilkan 14
Penyelesaian
Misalkan a = 1 ; maka 1 x 7 = 14 salah, karena tidak sama dengan 14
a = 7 ; maka 2 x 7 = 14 benar, karena 7 : 14. Maka dengan demikian jika a di ganti dengan bilangan 2 maka diperoleh kalimat yang benar. Sebab 2 x 7 = 14
Penyelesaian persamaan a x 7 = 14 adalah a = 2, dan a = 2 disebut himpunan penyelesaian atau { 2 }.




  1. B. Sistem Persamaan Linear Dua Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear dua peubah yaitu x  dan y dalam bentuk implisit
Dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah konstanta
a1X + b1Y = c1
a2X + b2Y = c2
  1. Cara Subtitusi
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah adalah :
  1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan salah satu peubah dalam peubah yang lain
  2. Subtitusikan hasil pada langkah (a) kepersamaan lainnya, sehingga akan didapat persamaan dengan satu peubah dan selesaikan persamaan itu
  3. Subtitusikan nilai yang didapat pada langkah (b) kedalam hasil langkah (a) sehingga diperoleh nilai peubah lainnya.
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
-2X +   Y = 5              (1)
3X + 4Y = -2            (2)
Jawab :
-2X + Y = 5                (1)
Y= 2X + 5
Subtitusikan hasil terakhir di atas ke dalam persamaan (2)
3X + 4Y = -2
3X + 4 (2X + 5) = -2
3X + 8X + 20 = -2
11X = -22
X = -2
Subtitusikan X = -2 kedalam persamaan yang ada (pilih salah satu saja)
3X + 4Y = -2
-6 + 4Y = -2
4Y = -2 + 6
4Y = 4
Y = 1
Himpunan penyelesaian = {(-2,1)}
  1. Cara eliminasi
Cara eliminasi adalah (menghilangkan) salah satu peubah dari kedua persamaan
Langkah-langkah yang diperlukan :
  1. Memilih salah satu peubah yang akan dieliminasi, kemudian samakan koefisien peubah itu dengan cara mengali/membagi
  2. Jumlahkan/kurangi ruas sejenis kedua persamaan sehingga diperoleh persamaan linear satu peubah
  3. Selesaikan persamaan linear
  4. Lakukan kegiatan a, b, c untuk peubah lainnya
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
3X + 4Y – 11 = 0
2X – 5Y – 15 = 0
Jawab :
3X + 4Y – 11 = 0 ……….(1)
2X – 5Y – 15 = 0…………(2)

2x (1)         6X + 8Y – 22  = 0                  5x (1)         15X + 20Y – 55   = 0
3x (2)         6X – 15Y – 45 = 0  -               4x (2)           8X – 20Y – 60   = 0   +
23Y + 23 = 0                                               23X – 115 = 0
23Y         = -23                                            23X           = 115
Y         = -1                                                   X          = 5
Himpunan penyelesaian = {(5,-1)}
  1. Gabungan cara subtitusi dan eliminasi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan :
4X   -  Y = 7
3X + 2Y = 8
Jawab :
4X   -  Y = 7                x 2          8X – 2Y = 14
3X + 2Y = 8                x 1          3X + 2 Y = 8
11X         = 22
X        = 2
4X – Y = 7
8 –  Y  = 7
- Y   = -1
Y  = 1
Himpunan penyelesaian adalah {(2,1)}

  1. C. Sistem Pertidaksamaan Linear
  1. menentukan himpunan peyelesaian sistem pertidaksmaan linear dua variabel dengan grafik
Sistem peridaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel. Memuat irisan atau interseksi dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan .linear yang terdapat pada sistem pertidaksamaan itu
Contoh :
Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidang cartesius ( R adalah himpunan bilangan real)
2X + 3Y ≥ 6 ,  dengan X, Y Î R
Penyelesaian :
2X + 3Y ≥ 6 ,  dengan X, Y Î R
Sebelum menentukan daerah penyelesaiannya, kita perlu melukis grafik     2X + 3Y ≥ 6. Untuk itu, ikutilah langkah-langkah berikut :


  • Kita tentukan titik potong grafik dengan sumbu-sumbu koordinatnya.
-          Titik potong grafik dengan sumbu X, syaratnya Y = 0 berarti 2X + 3(0) = 6 Û 2X = 6 Û X = 3. Oleh karena itu titik potong grafik dengan sumbu X adalah (3,0)
-          Titik potong grafik dengan sumbu Y, syaratnya X = 0. Berarti                         2(0) + 3Y = 6 Û 3Y = 6 Û Y = 2. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0,2)
Hal itu dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :
X 0 3
Y 2 0

  • Grafik 2X + 3Y = 6 dapat diperoleh dengan membuat garis yang menghubungan titik (3,0) dan (0,2) seperti pada gambar berikut

5  -                                                                 5   -
4  -                                                                 4   -
3   -                                                                 3    -
2  -      (0,2)                                                   2   -       (0,2)               2X + 3Y = 6
1  -                                                                 1   -
(3,0)                                                                   (3,0)
+       +       +       +       +                               +    +    +     +       +
0           1       2       3       4       5                               0     1     2     3      4

Gambar 1.1                                                        Gambar 1.2



  1. 2. Program Linear dan Model Matematika
Program linear adalah suatu metode atau program untuk memecahkan suatu masalah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau balasan-balasan yang hendak diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidak samaan linear penyelesaian dari pertidaksamaan linear ini terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Diantara beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum.
Untuk dapat menyelesaikan program linear terlebih dahulu kita harus menerjemahkan persoalan (kendala-kendala) yang terdapat dalam sistem linear, kedalam bahasa matematika yang disebut model matematika. Jadi, model matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear kedalam bahasa matematika.
Contoh :
-          Rina membeli 4 buku dan 3 pensil di koperasi sekolah harus membayar Rp. 6.900,00. Siska membeli sebuah buku tulis dan 2 pensil sehingga dia harus membayar Rp. 2.600,00. Jika harga satu buku tulis dan satu pensil masing-masing X dan Y, buatlah model matematika  untuk persoalan tersebut.
Penyelseaian :
Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Rina diperoleh 4X + 3 Y = 6.900. Sedangkan berdasarkan uang yang dibayarkan Siska, diperoleh X + 2Y = 2.600. Karena bilangan X dan Y menunjukkan harga barang, nilai X dan Y harus berupa bilangan real non negatif. Jadi model matematika dari persoalan tersebut adalah :
4X  + 3Y = 6.900
X  + 2Y = 2.600
X,Y ≥ 0
X,Y ≤ R

Menentukan penyelesaian persamaan linear dengan aturan cramer ; menentukan invers matriks

A. Penyelesaian persamaan Linear menggunakan Aturan Cramer
Untuk menyelesaikan persamaan Linear yang berbentuk n persamaan dengan n variabel tak diketahui digunakan Aturan Cramer.
Bentuk umum persamaan Linear adalah:
Di mana x1,x2, … xn adalah n besaran yang tidak diketahui. Jika r1,r2, …rn semuanya nol, maka sistem persamaan tersebut dinamakan homogen. Jika tidak semuanya nol dinamakan tak-homogen. Suatu himpunan bilangan x1,x2,…xn yang memenuhi pers. (1) dinamakan penyelesaian sistem.
Dalam bentuk matriks pers. (1) dapat ditulis :
 Atau disingkat :
Di mana A,X dan R menyatakan matriks yang sesuai dengan pers (2).
Sehingga penyelesaian persamaan linear tersebut adalah:
Aturan Cramer menyatakan bahwa komponen penyusun matriks X yakni x1,x2,…xn  dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:
Di mana ∆ = det (A) yang dinamakan determinan dari sistem ---- determinan matriks A---  dan ∆k, k = 1,2,…n adalah determinan dari matriks yang dibentuk dengan cara membuang  kolom ke-k dari  matriks A dan menggatikannya dengan vektor kolom R.
Dari aturan Cramer akan diperoleh penyelesaian tungal persamaan linear --- matriks X --- yang bukan nol  dengan syarat ∆≠0 dan R≠0.

B. Invers Matriks
Invers suatu matriks dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

0 komentar:

Poskan Komentar